如何设置锁相放大器的低通滤波器

低通滤波器是锁相放大器的重要组成之一,决定了测量的性能。如何设置低通滤波器?低通滤波器的带宽(或者说时间常数)和阶数应该如何选择?在刚开始使用锁相放大器的时候,很多用户都有这样的疑问。对于简单的应用,带宽设置为解调频率的1/10到1/100,阶数设置为3或4,这就可以了。但是,为具体的应用找到最优的设置,可能要花很多时间。为了帮助用户快速地找到最优的设置,我们总结了几条经验跟大家分享。

首先,我们回顾为什么低通滤波器如此重要。因为它决定了测量的带宽和噪声,决定了测量的优劣。低通滤波器有两个参数,即截止频率和阶数。它们的关系是

是低通滤波器的截止频率;是滤波器阶数前因子;是时间常数。

截止频率是低通滤波器的带宽,与时间常数成反比。带宽越小,信噪比越好,但是测量时间变长,也就是阶跃响应时间变长,如图1所示。低通滤波器的阶数是相同的滤波器的级联的个数。阶数越大,低通滤波器的滚降越陡,也就是说对不感兴趣的信号抑制就越强。但是,阶数越大,低通滤波器需要更多的时间到达稳态,如图2所示。

图1. 在阶数固定的情况下,不同带宽的低通滤波器的频域(左)和时域响应曲线(右)。

带宽越小,阶跃响应到达稳态所需要的时间越长。

图2. 在带宽固定的情况下,不同阶数的低通滤波器的频域(左)和时域响应曲线(右)。

为了帮助大家理解如何正确选择这两个参数,我们以两种常见的应用情形为例。

第一种,关键制约因素是测量时间。比如,扫描成像。为了缩短每一帧的时间,每一个像素的测量时间是有限的。假设我们已经选定低通滤波器的带宽,我们要考虑阶数的选择对低通滤波的阶跃响应的影响。在图2中,可以看到低通滤波器的阶数对其阶跃响应的特性的影响。阶数低的滤波器开始时上升很快(比如n=1),但是与高阶(比如n=8)的低通滤波器相比,达到稳态需要的时间更长。比如,为了达到71%的准确度(注意,不是精度),和最大的信噪比,一阶滤波器是首选, 因为它比高阶的滤波器更先达到这个准确度。如果要达到95%的准确度,首选二阶;99%则三阶。在测量带宽已经选定后,我们可以按照测量准确度的要求,选择合适的阶数。

图3. 在带宽固定的情况下,不同阶数的低通滤波器的时域响应曲线(左)和准确度要求与最低阶数的查找表(右)。准确度要求越高,需要的阶数越高。

第二种,待测信号的频谱非常复杂。在这种情况下,在频域选择滤波器的参数更加方便。低通滤波器的带宽要足够宽,以覆盖所有的频率分量;同时,带宽要足够小,以避免额外的噪声。比如,我们想观测一个幅度调制信号,调制频率是10Hz, 那么滤波器的带宽最小要10Hz,如图4所示。如果临近的频率上有噪声信号,它们将对测量构成干扰。因为噪声的频率和信号的频率很接近,我们要选择滚降特性更好的低通滤波器,也就是它的阶数应该高一些, 这样对噪声的抑制会更好。

图4. 调幅信号的频谱,调制频率10Hz。为了测量出调制幅度的变化,低通滤波器的带宽应该大于10Hz。在有用信号附近有显著的噪声(~50kHz),可以使用高阶滤波器,因为它的滚降特性更陡,可以更好地抑制这些噪声。

上面提到的建议可以帮助我们应对大多数应用。但是,在某些情境下,有些地方我们要特别注意。首先,如果低通滤波器的阶数很大,那么信号的传输延时会变大。在涉及到闭环反馈的应用中,比如追踪相位的锁相环PLL,传输延时过大可能导致反馈不稳定。 在这种情况下,更低阶的滤波是更好的选择。

图5. 在带宽固定的情况下,不同阶数的低通滤波器的时域响应曲线。高阶的滤波器的时间延时更大,容易导致反馈闭环的不稳定,比如PLL锁相环。为了避免这个问题,我们应该用更低阶的滤波器。

第二种,信号的频率很低,因为解调的频率很低。即便低通滤波器用较小的带宽,也可能有直流和谐波信号的泄露,如图6所示。如果设置不当,这些干扰就不能充分抑制。为了避免这个问题,我们应该使用更高阶的滤波器。另外,我们也可以用sinc滤波器来抑制谐波。

图6. 低频信号的频谱。如果直流信号和谐波(红色标记附近)没有被充分滤除,它们将影响测量结果。为了抑制谐波信号对测量的影响,可以使用sinc滤波器。

本文根据视频内容改编 Low-pass filter settings done right 。如果想了解更多锁相放大器的基本知识,请参考Zurich Instruments发布的锁相技术白皮书

感谢Claudius Riek博士制作的图片。